Wyznaczanie ograniczeń stanu końcowego w nieliniowej regulacji predykcyjnej

1. Wstęp. Nieliniowa regulacja predykcyjna (NMPC – Nonlinear Model Predictive Control) jest metodą sterowania polegającą na cyklicznym rozwiązywaniu zadania sterowania otwartego (OCP – Open Control Problem zob. [6]). Początkową część wyliczonego w ten sposób sterowania stosuje się przez pewien czas δ, po czym wyznacza się stan obiektu i powtarza całą procedurę dla nowego warunku początkowego. Zadanie sterowania otwartego rozwiązuje się ze skończonym horyzontem predykcji T. Takie postępowanie ma dwie istotne konsekwencje: 1. Trajektoria systemu zamkniętego i trajektoria przewidywana (otrzymana z rozwiązania OCP) mogą się istotnie różnić. 2. Jeżeli horyzont T oraz wskaźnik jakości są wybrane niewłaściwie, to system zamknięty może być niestabilny [2], [3]. Najprostszą i jednocześnie najmniej opłacalną metodą zapewnienia stabilności, jest wydłużenie horyzontu predykcji. Metoda „dual mode approach” [7] polega na doprowadzeniu systemu do pewnego otoczenia punktu równowagi, w którym można stosować regulator liniowy. Stabilność można także zapewnić dodając do wskaźnika jakości funkcję kary )) ( ( T t x q + za niespełnienie warunku końcowego (terminal penalty term) oraz nakładając na stan końcowy warunek Ω ∈ + ) ( T t x [1], [3]. Zbiór dopuszczalnych stanów końcowych Ω będziemy nazywać zbiorem końcowym (terminal region), a funkcję q funkcją końcową. Zbiór końcowy oraz funkcja końcowa muszą być tak wybrane, aby zachodził w Ω pewien warunek zmniejszania funkcji celu [2], [3], [1]. Chen i Allgöwer [1] podali schemat regulacji predykcyjnej z kwadratowym wskaźnikiem jakości, w którym funkcja końcowa i zbiór końcowy są tak wybrane, że wskaźnik jakości szacuje od góry wartość kosztu dla zadania z nieskończonym czasem sterowania (Quasi Infinity Horizon NMPC, QIH– NMPC). Podali oni metodę wyznaczania off-line zbioru Ω i funkcji q w oparciu o model zlinearyzowany w otoczeniu punktu równowagi. Dla tego modelu wyznacza się regulator proporcjonalny. Następnie rozwiązując równanie Lapunowa dla liniowego systemu zamkniętego otrzymuje się kwadratową funkcję Lapunowa, którą przyjmuje się jako funkcję końcową. Zbiór końcowy wybiera się jako największy zbiór poziomicowy funkcji Lapunowa, w którym spełnione są warunki dostateczne stabilności. W oryginalnym podejściu Chen i Allgöwer [1] zaproponowali aby sprawdzać warunek zmniejszania funkcji celu poprzez wyznaczenie maksimum pochodnej czasowej funkcji celu w zbiorze Ω . Metody numeryczne rozwiązywania tego zadania nie dają gwarancji, że znalezione maksimum jest globalne. W niniejszej pracy zaproponowano algorytm wyznaczania zbioru końcowego pozwalający uniknąć trudności związanych z rozwiązywaniem zadania maksymalizacji funkcji przy ograniczeniach nierównościowych. Praca składa się z sześciu rozdziałów. W rozdziale drugim przedstawiono schemat NMPC, warunki stabilności oraz omówiono algorytm QIH–NMPC. Dla tego ostatniego algorytmu sformułowano zadanie wyznaczania zbioru końcowego oraz funkcji końcowej. W rozdziale trzecim wykazano, że postawiony problem można rozwiązać poprzez obliczanie całek na pewnej rodzinie zbiorów w R. Zadanie obliczania całek oraz procedury numeryczne użyte do jego rozwiązywania zostały omówione w rozdziale czwartym. Dwa przykłady zastosowania metody podano w rozdziale piątym. Dla jednego z przykładów uzyskany wynik porównano z wynikiem podanym przez Chena [1]. Artykuł kończy się wnioskami.